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形式意味派生論！！

Casolot — Sat, 17 Jan 2026 11:35:39 +0000

あぶすと
述語論理は不完全である
名詞的な意味とは何か
主張
まとめ

あぶすと

本稿は、述語論理を土台にした人工言語が「同一の意味核から派生語を体系的に生成しにくい」という問題を抱えていることを指摘し、試論としてその解消に向けた枠組みを提案します。

まず、ロジバンをはじめとした述語論理に基づく言語の問題点を指摘します。次に先行研究として、クワインおよび黒田らの議論を参照しつつ、名詞化に伴う意味の派生を整理します。最後に、それらの論点を踏まえて以下の四点を主張します。

私たちは状況に基づいて、「もの」と「こと」に言及する。
「もの」の命名には事実基盤命名と役割基盤命名がある。
私たちは随伴者に言及することで「こと」を個体化することができる。
随伴者は現象と本質を橋渡しする。

述語論理は不完全である

述語論理は、言語を分析するうえで強力な道具です。例えば「走る」を run(x)、「猫」を cat(x) のように表せば、関数適用や量化などの操作によって、文の意味を合成的に組み立てられます。現代の形式意味論では、この種の意味表示が広く用いられており、述語論理を土台にして言語そのものを設計しようとする試みもあります。例えば、ロジバンや近年では Toaq 、Varhil などがその例です。

しかし、私たちの言語使用を「分析する」という観点ではこの方法に大きな問題がない一方で、人工言語のように言語使用を「構成する」という観点に立つと、意味を主として「述語」だけで組み立てようとする設計には、いくつかの困難が伴います。

代表的な問題として、ひとつの意味核から自然に派生するはずの表現（派生語・関連語）を、体系的に生成しにくい点が挙げられます。結果として、本来なら同じ語彙系列として揃うべき言い回しが、場当たり的に別語彙へ分裂してしまい、表現の予測可能性が下がります。

語彙設計における派生の困難

具体的には、「AはBを食べる」という述語を用意すれば、B側に焦点を当てて「食べられるもの」（＝「食べる」の目的語になりうるもの）を表せます。ところが「食べ物」という概念は、単に「食べられるもの」とは一致しません。なぜなら、食べ物は必ずしも食べられるとは限らず、場合によっては食べる前に廃棄するような場面も考えられるからです。そのため「Aは食べ物である」のような別の述語を用意したくなります。

実際、ロジバンでも「食べる」citka と「食べ物」cidja が別の語根として制定されています。ところが一方で、「飲み物」は「飲む」pinxe という語根で表現されます。「食べ物」が用意されていて、「飲み物」が用意されていないのは、語彙設計として一貫した基準が見えません。英語など一部の自然言語の区別を、そのまま写してきただけではないでしょうか。

同様の揺れは他にも見られます。

「先生」は「教える」ctuca から作るのに、病院や学校は独立した語根として用意されています。
「寝る」は sipna なのに、「ベッド」は ckana という別語根です。

このようにどこまでを「同一語根からの派生」として処理し、どこからを「別語彙」として切り分けるのかが一貫して規則化されていないと、語彙体系としての予測可能性が下がり、「同じ概念から派生した表現にするべきでは…？」という不満が生まれやすくなります。

ロジバンにも穴はあるんだよな…？

また、「はじロジ」執筆などで日本でのロジバン普及に関わってきた「おかゆ」氏は、かつて「ロジバンには穴は存在しないっぽい」と述べました。

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ここで言われているのは、ロジバンに「穴がある」に相当する表現がまったく存在しない、という話ではありません。「穴が空いている」という状態を表す述語はあるのですが、日本語の「穴」のように、それ自体を“対象として取り出す”仕方が、言語体系として用意されてないのではないか、という問題提起です。

私はこの提起には、少なくとも二つの論点があると考えています。

1. 「穴が空いている」という状況から「穴」というものが取り出せるのか？

第一の論点は、述語を中心に意味を構成する関係主義的な体系では、いわば「名辞」的な存在者が初めから想定されていないのではないか、という疑問です。「穴が空いている」という状況から、その参与者を取り出す操作で、「穴」という〈もの〉を本当に意味できるのでしょうか。おかゆ氏の言い方を借りれば、ロジバンでは「ドーナツには穴がある」とは言わず、「ドーナツには穴が空いた箇所がある」と言うほかなく、しかも「穴が空いている」がこれ以上分解できない述語として組み込まれているために、「穴」が対象化されにくいのです。

では、〈もの〉として対象化するとはどういうことなのでしょうか。これは形而上学的な議論になってしまい難しい話題ですが、例えば、『穴と境界』で、穴という存在者そのものに目を向けた加地大介氏は、その十年後に書かれた『もの』で、「もの」を以下のように定義しています。

ものであるとは、それぞれ本質・力能・持続に由来する四種類の実体様相をまといつつ存在することである。

──加地大介『もの』, p.264

つまり、「もの」とはそれぞれ本質・力能・過去・未来を表す四種類のモダリティ（形式的には様相論理）で記述されるもののことなのです。「穴」を単に〈穴が空いている〉という状態の参与者として回収するだけでは、そのようなモダリティにコミットできないのではないでしょうか。例えば、「本質」に目を向けましょう。

重要なのは、個体性が成立している以上、それは少なくとも何らかのカテゴリーに属しており、そしてそのような個体性を成立させる最低限の何らかの本質というものを有しているということである。まさしく、「個体」であるためには「何か」でなければならないのである。

──加地大介『もの』,p.138

「穴」を単に〈穴が空いている〉という状態の参与者として回収するだけでは、それが本当に「何なのか what it is」を指示することはできません。種的論理における種に関する述定がなければ、個体xが「穴が空いている箇所」であることは示せても、「穴」という〈もの〉であることは示せないからです。

2. アドホックな実装ではないか？

第二の論点は、より実践的な問題として、実装がアドホックになりやすい点です。

つまり、仮に「穴」を「穴が空いている」という述語の参与者として組み込む方針を採ると、例えば、「傷」や「影」のような概念についても同様の扱いを求めたくなります。しかし「A が B を傷つける」のような述語だけでは「傷」が登場しないため、「A が B を傷つける。C がその傷である」のような追加の構造を、概念ごとに用意することになります。影についても同様に、「A によって B の影ができる。C がその影である」といった形を別途与えることになりがちです。

この手の要求は際限なく連鎖します。結果として、語彙と述語構造が例外だらけになり、その場その場で基準が変わってしまいます。述語論理に基づく言語制作の問題は、述語が多くを捨象していることそれ自体というより、何を捨象し、何を捨象していないかが、概念ごとに曖昧な点にあります。だからこそ、名辞化・派生・概念分解の規則といった追加のモデルを明示的に与えないかぎり、述語論理に基づく言語設計は一貫性を欠き、アドホックになりやすいのです。

本稿の目的

本稿では、述語論理を前提とした意味派生の理論を提示し、先に挙げた言語設計上の問題がどのように解消されうるのかを示します。ここで目指すのは、意味核から派生表現を体系的に生成できる規則を与え、語彙体系の予測可能性と経済性を両立させることです。

ロジバンは、有名なパングラム「5頭の空腹なソビエト牛が庭にいる。 .o'i mu xagji sofybakni cu zvati le purdi 」に象徴されるように、ソ連がまだあった頃に設計された言語です。三〇年が経ち、言語学・言語哲学の側でも議論が積み重なりました。そろそろ論理的言語の新しい可能性が模索されてもよい頃です。本論はそういった試みへの第一歩として書かれています。

またこの議論は、いわゆる「工学言語」に新しい設計原理を与えるだけでなく、一般の言語創作にとってもある程度は有用な見取り図になるはずです。存在論であれ文化であれ歴史であれ、言語が参照しようとするのは、言語の外側にある世界なのですから。

名詞的な意味とは何か

私たちは周りのものに「ラベル付け」をします。「売り物」であるとか「猫」であるとか「赤っぱな」であるとかです。これらは多くの自然言語で名詞として表現されます。しかし、「名詞」とは何でしょうか。

文法の側から見るなら、名詞は統語範疇（型）の一つにすぎません。意味の側から見るなら、（少なくとも普通名詞は）個体を入力に取り真理値を返す〈e, t〉型の関数でしかありません。

しかしそれでも、私たちは「名詞的」な意味というものを考えたくなります。動詞や形容詞は「名詞化」でき、そのとき名詞特有のニュアンスや意味のまとまり方が生じているように感じられるからです。

では、名詞化によってどのような意味が生じるのでしょうか。興味深いことに、名詞化された語には体系的な多義性があることが、様々な研究者によって指摘されてきました。例えばクワインは『言葉と対象』で以下のような多義性を紹介しています。

（動詞由来名詞には）いわゆる“体系的な多義”がある。よくあるタイプの一つは、過程／産物の多義性（Black）で、例えば assignment は「割り当てるという行為」も指せば、「割り当てられたもの」も指せる。

もう一つは、行為／慣習の多義性（Sigwart）で、例えば skater は「いま実際に滑っていて、そのせいで起きているやつ」も指せるし、「スケーター」を指すだけで、そいつはいま寝ているかもしれない。

Quine, Word and Object, Chapter 4 “Vagaries of Reference” の §27、拙訳。

クワインが紹介するように、動詞が名詞化する際には多義的な意味が発生します。assign（割り当てる）という単語が名詞化するときには、「割り当てること」を意味することもあれば、「割り当てられたもの」を意味することもあります。或いは、skate（スケートする）という動詞から「スケートする人」を意味するskaterという名詞を派生させても、その語は多義的に用いられうるのです。

黒田らの論文を読む

このように、名詞化には何種類かの多義性があるように見えます。この多義性はなぜ生じ、概念のレベルでどこまで整理できるのでしょうか。

本稿ではそのような問題意識を持つ論文として、黒田航ほか『意味フレームに基づく概念分析の理論と実践』を紹介したいと思います。

概念体系を探る

まず、同論文は、概念体系と言語の関係について、次のような立場を明確にしています。

私たちは概念体系は原則として言語から独立して存在するものだと考え，言語と概念体系の対応づけには慎重な態度を取る．

同論文では、このように概念と言語を切り分けたうえで、概念体系そのものに着目します。

さらに同論文は、名詞が意味内容の理解に必要な背景知識を伝えるのに重要な役割を担っていると主張します。述語中心の研究が主流となっている中で、名詞の側から意味を捉えようとするやや珍しい立場です。

言語によって伝えられる意味内容を理解するための背景知識（background knowledge）の重要な部分は名詞的要素によって—しばしば名詞的な要素のみによって—コード化され，伝えられる

ここで焦点になっているのは、名詞が単に対象を指すだけでなく、理解に必要な背景知識の一部を「コード化」している点です。

同論文はこの点を、個体に付与される「属性」の整理として展開し、属性を意味型と意味役割という二つの側面から捉えます。

意味型（semantic type）：自然的属性にもとづく分類（自然分類）
意味役割（semantic role）：自然的属性では定まらない（状況依存の）分類

アフォーダンス

では、意味役割という分類はなぜ成り立つのでしょうか。それが恣意的でないとすれば、何がそれを支えているのでしょうか。同論文は、その基盤としてアフォーダンスを強調します。

アフォーダンスとは、もともと生態心理学者ギブソンが提唱した概念で、対象が生物に対して提供する利用可能性・機能性のことです。同論文はこの概念を、名詞の意味役割を支える基盤とみなします。アフォーダンスは、対象が提供する利用可能性・機能性として捉えられ、名詞による言及がそうした機能性を呼び出しうる、という見通しが得られます。

モノに価値があるのは，それがアフォーダンスを提供するからである．従って，N(x) という名称をもつモノ x に言及することで x のアフォーダンスに言及可能なのは，おそらく具象物が常に何らかの意味役割＝機能性を具現化することを聞き手が知っているからと言える．

私たちがモノに名前をつけて言及するとき、単にそのモノを指しているだけではなく、そのモノが持つ機能性にも言及しています。「椅子」と言えば、ある物体を指すと同時に、「座るためのもの」という機能性を呼び出しているのです。

ただし、ここでいう機能性は物理的なものに限りません。多くの生態心理学者がアフォーダンスを知覚レベルの現象に限定するのに対し、同論文はこの概念をより広く扱います。

多くの生態心理学者はアフォーダンスを知覚のみに結びつけ，認識には結びつけないという用語法に固執するが，私たちはそれには従わない．何かが宝石であるのを知るためには，そのキメ，照り，肌触り，重み，運動モーメントのような知覚的要素も本質的に重要だが，そればかりでなく専門家による鑑定（の見こみ）を必要とする．（中略）従って，私たちは何かが宝石であることは，純粋に知覚の次元で成立する特徴ではないと考える．

宝石は、社会において価値あるものとして機能するからこそ「宝石」と呼ばれるのです。「雑草という草はない」という言い回しが示すように、私たちは対象をそれ自体の性質だけでなく、生活の中での位置づけ・機能によっても分類しています。アフォーダンスは、知覚的な特徴だけでなく、社会的な認定や制度的な文脈をも含みうるのです。

この議論を踏まえ、同論文は意味型と意味役割の関係を次のように整理します。

（…前略…）意味役割の恣意性の幅には一定の制約が課されている．その制約の一部は明らかにアフォーダンスから来るものである

意味型による分類（例：犬／猫／鳥）は、対象の自然的属性に基づく自然分類です。一方、意味役割による分類（例：番犬／盲導犬／ペット）は、対象がどのような状況でどのような機能を果たすかに基づく機能分類です。後者は恣意的に見えるかもしれませんが、アフォーダンス（対象が実際に提供しうる利用可能性）によって制約されています。犬が「番犬」になりうるのは、犬が実際に番をする能力を持つからであり、猫が「番猫」と呼ばれないのは、猫にその機能がないからです。

また、意味役割の中でも、とりわけ「状況」が重要な役割を果たすことが、次のように述べられます。

意味役割が状況（依存）的（situational）な性質をもつのは本質的なことであり，私たちはこの意味で，ヒトの理解における状況という概念の役割を強調する．無意識の状況の区別こそが，視点（perspectives），あるいは把握（construals）を決定すると考えられるからである．

例えば、「運転」という状況を考えてみましょう。この状況から「運転者」や「運転手」といった概念が生まれます。どちらも運転という状況に関わる者を指しますが、その関わり方が異なります。同論文はこの違いを、意味役割の分類として説明しています。

運転者と運転手はどう違うのか

同論文は、意味役割を以下の三種類に分類します。

A. 状況的役割：ある状況における一時的な参与者であること

B. 社会的役割（制度的役割）：状況とは独立に恒常的に持つ役割のうち、公的で抽象的なもの

C. 構造的役割：同じく恒常的な役割のうち、具体的なもの

運転者と運転手の違いは、状況的役割と社会的役割の違いにあります。運転者とは、ある個別の状況において実際に運転している者を指します。一方、運転手とは、必ずしも実際に運転しているとは限りません。「運転者となる」という役割を社会的・制度的に期待されている者を運転手と呼ぶのです。同様に、たまたま頼まれて講演しただけでは、単に「講演者」であるにすぎず、「講師」とは言えないのです。

構造的役割とは、〈指〉と〈手のひら〉のような、部品的・構成的な関係を指すものです。

整理しましょう。モノにはアフォーダンス（機能性）があり、それが意味役割という分類を支えています。意味役割は状況に依存し、私たちがどの状況を切り取るか、どのような視点を取るかによって変わります。そして意味役割は、状況的役割・社会的役割・構造的役割という下位分類を持ちます。

このような前言語的な事情が、私たちの言語における名詞の意味を形づくっているのです。

状況の名詞化

ところで黒田らの論文は名詞の意味論を強調していますが、その焦点は主に「状況の内部で、何がどの役割を担うか」という整理にあります。実際、同論文は状況を〈時間・場所・参与者・関係〉の四つ組として定義しつつも、台風や地震のような「状況それ自体」を名詞で取り出す操作については、体系的には論じていません。
さらに、黒田ら自身も注で「火」のように、状況と個体の区別が素直には立たない例に触れており（p.6 注12）、「状況を名詞として取り出す」という操作には未整理の論点が残ることが示唆されています。

ではここから、名詞が「状況」に言及するとき、何が名指されているのかを確認してみましょう。

まず、台風や地震のように状況に言及する名詞が見られます。
そのうえで、状況を名詞で取り出す操作は一様ではなく、文脈によっては、命題・行為・時間・空間・程度といった異なる側面が取り出されていることが確認できます。

命題：彼の殺人を知っている
行為：彼は殺人が得意だ
時間：料理中にはマスクをしよう
空間：彼の料理の中に宝石が入っている
程度：大きさが違う

こうした例を見ると、「状況を名詞で取り出す」と言っても、そこで指されているのは一種類のものではなさそうです。命題・行為・時間・空間・程度といった、異なる側面が名詞として扱われているように見えます。

さらに、名詞化の一つの動機として、「経済性」を挙げられます。私たちは長い言い方を、短い言い方に畳み込んでしまいがちです。例えば「彼の愛を否定する気はない」というときの「愛」は、しばしば「彼が彼女を愛すること」のような内容を短くした言い方として理解できます。

このように名詞は、状況の何らかの側面をコンパクトにまとめ、文の中で扱える形にする機能があります。

ただし、状況に触れているように見える名詞の中には、こうした「まとめ方」とは別種の働きが入り込んでいるように思われます。

〈赤いこと〉と〈赤〉
〈愛すること〉と〈愛〉
〈喉が渇くこと〉と〈渇き〉
〈こだますること〉と〈こだま〉
〈穴が空いていること〉と〈穴〉

「愛を感じる」の「愛」は、単に状況を短く言っただけには見えません。ここでは「愛」が、あたかもひとつの“対象”のように立ち上がり、それを感じたり、失ったり、抱いたりできるものとして扱われています。同じことは「渇きを覚える」や「赤が目に飛び込んできた」にも見出せます。状況を述べているだけのはずが、いつのまにか、何かが名指され、取り出され、指させるものとして扱われてしまいます。

これらはいわば「事態の個体化」と呼べることが起きているように見えるのです。

主張

さて、これらの知見を前提に、私は以下のような主張を行います。

私たちは状況に基づいて、「もの」と「こと」に言及する。
「もの」の命名には事実基盤命名と役割基盤命名がある。
私たちは随伴者に言及することで「こと」を個体化することができる。
随伴者は現象と本質を橋渡しする。

なお、本稿の主張は以下の用語法を用います。

時間上に生起する存在者を事態（eventuality）と呼びます。
事態は 出来事（event：物事の移り変わり）と状態（state：物事の持続）に分かれます。
実際に生起した個別の事態を事実（fact）と呼びます。
状況（situation）とは、ある時空間上の事態内部の構造であり、参与者同士の関係を含みます。

1. 私たちは状況に基づいて、「もの」と「こと」に言及する

私たちは周りのものに「ラベル付け」をします。「鍵」だとか「割れ物」だとか「迷惑メール」だとかです。
このようなラベル付けは「状況」に基づいています。私たちは状況に基づいて周りの対象を言及しているのです。

状況に基づく言及には2種類あります。すなわち、ある状況のネットワーク上にあり、状況の参与者であるものとして言及する仕方と、「こういう状況である」という状況そのものに言及する仕方です。

状況の参与者は「もの」として言及されます。状況そのものは「こと」として言及されます。

2. 「もの」の命名には事実基盤命名と役割基盤命名がある

さて、クワインの紹介した、skater の行為／慣習の多義性も、黒田らの提示した、運転者・運転手の区別も本質的には同じ操作対に言及しています。すなわち、私たちは物事を、状況のネットワークの参与者として認識し、ラベル付けをしますが、そのラベル付けには二種類の方法があるのです。

第一の方法は、過去・現在・未来における特定の事態において、実際にその状況の参与者になることを示す方法であり、
第二の方法は、実際にその状況の参与者になるかどうかはわからないが、そのような役割・期待・アフォーダンスをまとうことを示す方法です。

私は、それぞれ〈事実基盤命名〉と〈役割基盤命名〉と名付けています。

この二分法は最初の方に例として挙げた「食べられるもの」と「食べ物」の違いを綺麗に説明してくれます。

すなわち、食べられるものとは、実際に食べられるものであり、食べ物とは、食べられることが想定されている（が、必ずしも食べられるとは限らない）ものなのです。

このような例はいくらでもあります。売り物は実際に売られるとは限らないし、寝床が実際に寝るのに使われるとは限りません。しかしだからといって、少なくとも、それらが「売る」や「寝る」という内容語から派生するべきでないという話にはならないのです。

この「実際にその物事が発生しているか」、「あくまで、そういう期待・社会的役割があるか」の2層で捉え、語彙派生のルールとして組み込むだけで、びっくりするほど多くの単語を整理することができるのです。

3. 私たちは随伴者に言及することで「こと」を個体化することができる

主張2では、状況の参与者を「もの」として命名する方法を見ました。事実基盤命名と役割基盤命名です。しかし、私たちの言語にはもう一つ別の現象があります。先に挙げた例を思い出してください。

〈赤いこと〉と〈赤〉、〈愛すること〉と〈愛〉、〈穴が空いていること〉と〈穴〉、〈こだますること〉と〈こだま〉

これらは単なる「文の省略」ではありません。〈愛すること〉から〈愛〉へ、〈穴が空いていること〉から〈穴〉へと移行するとき、何かが「もの」として切り出されているように見えます。これが、私が「事態の個体化」と呼んだ現象です。

本節では、この現象を説明するために「状況核」と「随伴者」という概念を導入します。

3.1 状況核とは何か

状況核とは、状況から「アスペクト」と「立ち位置」を捨象したものです。

ここでいうアスペクトとは、ヴェンドラーが語彙アスペクトと呼んだ区別です。例えば、「私は毎日言語を作っています」というとき、そこには二種類の解釈があります。

毎日、一つ以上の言語が完成している
一つの言語を作り続けていて、その作業を毎日しているこの差は「作る」という単語が、作り続けるという〈状態〉を表しているのか、作り終えるという〈出来事〉を表しているかの違いから発生しています。この区別がない世界では、「傷がある」と「傷つく」が区別されません。

対して、立ち位置とは、どの参与者から状況を見るかということです。例えば、売買という状況には買い手・売り手・商品・対価という四つの参与者がいますが、「買う」と「売る」という二つの語があるのは、行為者の立ち位置が異なるからです。
この区別がない世界では、「傷つく」と「傷つける」が区別されません。

すなわち、「傷がある」、「傷つく」、「傷つける」といった状況を一つの状況核にまとめることができます。

3.2 随伴者とは何か

状況核に対して、随伴者という概念を導入します。随伴者とは、ある状況核について、その状況が成立する前後の「差」として現れる存在者のことです。

随伴者は状況の参与者（項）ではありません。しかし、状況が成立するとき必然的に現れます。熱い／熱するといった状況には「熱」が、走るという状況には「走り」が、愛するという状況には「愛」が随伴します。

ここで本節の主張を述べます。「こと」の個体化の正体は、この随伴者への言及です。〈愛すること〉が〈愛〉になり、〈穴が空いていること〉が〈穴〉になるのは、随伴者に言及しているからなのです。

随伴者には二種類あります。

一つは部分構成的随伴者です。対象を取る行為において、対象の部分として新たに生じるものです。AがBを傷つけた場合、その前後でBには傷が増えています。傷はBに付加された差分であり、部分構成的随伴者です。

もう一つは創発的随伴者です。状態や出来事そのものに伴って創発するものです。落雷が発生した場合、そこにはたいてい「雷」が現れます。これは何かの部分ではなく、状況そのものから創発だと捉えられます。「走り」や「愛」も同様です。

3.3 随伴者と参与者はどう違うのか

随伴者を参与者（項）から区別する基準は「差として現れるかどうか」です。

「料理する」を例に考えましょう。AがBを料理してCができる場合、Cは「料理」と呼ばれます。では「料理」は随伴者でしょうか。

答えはここでは否とします。材料Bは料理Cへとまるごと変化します。Cは「差」として生じたものではなく、変化後の全体です。Bはもともと存在していた存在者であり、形を変えてCになったのです。だから料理は参与者であって随伴者ではありません。

対して〈傷〉の場合、Bは傷つく前から存在し、傷つけられた後も存在し続けます。傷はBの一部として新たに生じた差分です。だから〈傷〉は随伴者なのです。

「火」も同様です。薪は灰になるわけですが、火というのは（火炎が発生するタイプの）燃焼全体によって発生します。その意味で火は創発的随伴者です。

3.4 随伴者からの示唆：「北」について

この枠組みは、述語の設計粒度についても示唆を与えます。

「北にある」という述語を作るべきでしょうか。随伴者の観点からは問題があります。

第一に、「北」が随伴者として現れる状況核が特定できません。「北へ行く」「北を向く」「北を見る」のどれが「北」を必然的に伴う状況核でしょうか。

第二に、「北にある」の前後で「北」が差として現れるわけではありません。北は方位であり、状況の成立によって生じるものではないのです。

したがって「北」は随伴者ではなく、「北にある」から「北」を派生させることはできません。「北」に言及したければ、「xは北である」のような述語を用意するか、方位体系そのものを別の仕方で扱う必要があります。

このように、随伴者という概念は語の生成方法を規定するだけでなく、述語の設計指針も与えてくれるのです。

3.5 「何であるか（what it is）」としての随伴者

冒頭で加地大介の議論を引きながら、「穴が空いている」という述語の参与者として「穴」を取り出すだけでは、それが〈もの〉として成立するのか疑わしいという問題を示しました。

この問題の要点を整理しましょう。述語論理の意味論を考えると、「AはBにある穴である」という述語のAは、「たまたまその時穴が空いている箇所」を指示しているだけかもしれません。運転者が「その時たまたま運転していたやつ」を指しうるのと似た状況です。加地は〈もの〉を本質・力能・持続といった実体様相で特徴づけましたが、述語論理はそのような様相に関心を持ちません。

黒田らの用語では、「人間」や「猫」のような自然的属性によって定まる分類を「意味型」と呼び、状況依存的な「意味役割」と区別していました。では「穴」はどうでしょうか。この問題にどこまで踏み込むかは本稿の主題ではありませんが、随伴者という概念が一つの可能性を示していることは指摘できます。

随伴者は状況の前後の「差」として生じる存在者であり、状況と切り離せません。「穴」は「穴が空く」という状況なしには存在しえないのです。このように定義された「穴」は、「たまたま穴だった」という解釈が成り立ちにくくなります。これは加地が求めた「何であるか what it is」の指示や、黒田らの意味型に近い効果を持っているように見えます。冒頭で紹介した問題意識に対して、随伴者という概念が一つの応答になりうるかもしれません。

4. 随伴者は現象と本質を橋渡しする

「火」という単語を辞書などで調べると、「燃える様子」や「燃える現象」のことだと説明されます。現象とは私たちの世界のうち、見えたり聞こえたり触れたりする側面のことを指します。つまり、火を伴う「有炎燃焼」には私たちの前に現れる「現象」としての側面と、私たちには見えない側面（例えば、化学変化としての燃焼反応など）があるのです。

そのように考えると、私たちは、「火が燃える」という状況をそのまま状況として受け取るだけでなく、その現れが「火」として指示されるのです。このような状況は「火」に限りません。例えば、雷とは、「雷が落ちる様子」のことですし、雨とは「雨が降る」様子のことです。これらの概念は私が、創発的随伴者と呼んだものですが、私たちはこれらを「現象」を指す言葉として運用することができます。

対して、「熱」や「光」という概念を考えてみましょう。これらは「熱い」だとか「光っている」というような現象的状況を説明するために措定されるような概念です。つまり、火や雨とは逆に、眼前で発生している作用を説明するための「見えない対象」を措定しているように見えます。

すなわち、私がここで主張したいことは、随伴者は「見えない本質を見える現象に置き換える」効果があるときと、「見える現象を見えない本質に置き換える」効果があるときがある…ということです。

これらを現象化と本質化と呼称することにします。

4.1 現象化と本質化の相互性

重要なのは、現象化と本質化がしばしば同時に行われていることです。例えば、「燃える」という言葉は、たいていの場合、裏側の作用（化学反応など）や目に見える作用（炎の形の移り変わりなど）を全部ひっくるめて表現しており、いわば世界を二重に記述しています。そのため、「火」という随伴者を用いる時には、「現象化」と「本質化」が同時に行われていることがあります。

また、科学の世界では、燃焼反応に対する現れとしての「火」が着目されがちな一方で、比喩の世界では逆に見えている作用に対する「本質としての火」が着目されることが多いです。私たちは目に見えるものから、心の中の「火」や「傷」を見出します。そのような「比喩的な」対象がどれくらい文字通り（ literal ）に捉えられるべきかは難しい問題ですが、少なくとも本質的な意味での「火」や「傷」が言語に現れる実例として機能しています。

以上を踏まえると、随伴者の役割は明確になります。随伴者は、状況を、私たちが指示し、扱える“もの”へと変換するための担い手です。そしてこの変換は、現象側と本質側をまたいで起きているのです。

4.2 オブジェクト指向存在論

最後に、ここまでの議論に最小限のモデルを与えます。

随伴者とは、事態を「名指しできる対象」として取り出す操作でした。この操作には、（i）対象として立ち上がった側面と、性質として散らばった側面、（ii）現象として見える側面と、本質として想定される側面、という二つの区別が同時に関わっています。

私はこの二軸をまとめて扱う枠組みとして、グレアム・ハーマンのオブジェクト指向存在論（四方対象図式）を採用します。

ハーマンは、対象-性質、感覚的-実在的という２つの軸からなる「四方対象図式」を提案し、「感覚的対象」、「感覚的性質」、「実在的対象」、「実在的性質」の四極の間の相互作用によって世界の様相を説明しようとしました。例えば、感覚的対象と実在的性質の間の作用を〈理論〉、感覚的性質と実在的対象の間の作用を〈魅惑〉と呼びました。

これは私の解釈による例示ですが、例えば眼の前に火があるとしましょう。

私たちは、火という感覚的対象を見て、その裏に燃焼反応という実在的な作用を見出します。火はその形、明るさや熱さを時間とともに変えながら様々な感覚的な性質を見せます。そういった感覚的な対象の裏に光や熱といった実在的な対象を措定します。そして、熱や光といった実在的な対象同士には何かしらの因果関係があり、それが燃焼反応という形で繋がるのです。

このオブジェクト指向存在論にはいくつもの含意を見出すことができると思うのですが、今回の主題とは外れるのでまたの機会に。

まとめ

本稿では、述語論理に基づいた言語の弱点として、今の派生を上手く扱えない問題を指摘しました。そのうえで、語の派生を「状況」に基づく操作として捉え直し、命名の基準を明示する枠組みを提案しました。

述語の項からの意味派生には事実基盤命名と役割基盤命名の二つがあることを主張しました。

具体的には、状況の参与者を命名する方法として、事実に基づく命名と、役割や期待に基づく命名を区別しました（事実基盤命名／役割基盤命名）。また、状況それ自体が名辞として立ち上がる現象を説明するために、「随伴者」という概念を導入し、事態の「個体化」がどのように生じるかを整理しました。

今回導入した意味理論が絶対的な正解だと主張するつもりはありません。課題も山積みです。しかし、少なくともこの理論を採用することで多くの論理的言語よりも一貫性があり、自然な語彙制定を行うことができます。

例えばロジバンが「食べる」と「食べ物」を別語として区別しているのは、「概念として違うから」というより、自然言語側の区別をそのまま採用した結果だと私は考えます。こうした採用が続くと、語彙体系の一貫性が薄れ、学習や運用に戸惑いが生まれます。

少なくとも、セレン＝アルバザード氏が指摘したように、どのような意図であれ言語を作るのであれば文化や存在論といったものを意識することは重要です。私の存在論があなたのそれに、少しでもインスピレーションを与えることができることを祈っております。よい言語創作を！

位取り記数法は「一番合理的な記数法」ではない。

Casolot — Fri, 19 Dec 2025 14:14:18 +0000

位取り記数法は、過大評価されている

多くの人間は、記数法と言われたときには位取り記数法のことしか考えないか、少なくとも位取り記数法が、ローマ数字などの記数法から進化した最も先進的で合理的な記数法であると考えているように見えます。
人工言語を作られている方は記数法の議論をすっ飛ばして、とにかく「何進数を採用するか」だけに焦点を当てていないでしょうか？

しかし、本当に位取り記数法は合理的なんでしょうか。他の記数法は考えられないのでしょうか。
ここでは、位取り記数法が「万能」ではないことを示した上で、位取り記数法とは別の設計思想を持つ記数法を提案し、どのようなトレードオフが生まれるかを検討します。人工言語の設計としては、むしろこちらのほうが合理的であったり、世界観に刺さることが多いと考えます。

そもそも私たちは位取り記数法を使っていない

私たちは普段「10進数を使っている」と思っていますが、日常の言語運用まで含めると、この言い方は少し慎重に扱う必要があります。というのも、私たちが実際に口にしたり書いたりしているのは、桁の列そのものというより、「百」「千」「万」のような位を表す数詞を含んだ表現だからです。

例えば 3200 を読むとき、私たちは通常「三二〇〇」とは言わず、「三千二百」と言います。これは桁列をそのまま読んでいるのではなく、数をまとまり（単位）に分解して読んでいる、ということです。そしてこの分解は、10³ や 10⁴ といった対数的な節目に強く寄っています。日本語なら「万」、英語なら thousand や million といった語がそれに当たります。

すなわち、私たちは位を表す数詞で補助しながら数を扱っています。そして、その補助が半ば必須になっている以上、私たちは、そもそも「位取り記数法」を使っているわけではないのです。

そして、そのような「応急措置」があって初めて実用に足るのが位取り記数法なのであれば、最初から位取り記数法の問題を克服した合理的な記数法を用意することはできないのでしょうか？

記数法の評価軸

記数法を評価する観点として、少なくとも次の4つが考えられます。

読み書きのしやすさ
計算のしやすさ
覚えやすさ
拡張性

読み書きのしやすさとは、表現として簡潔かどうかという点です。例えば、最も原始的な記数法として「数の数だけ1本線を書く」ようなものが考えられますが、これは読み書きが大変です。なんたって「100」という数を表すのに100本の文字が必要になるのですから。

次に計算のしやすさ。例えば、素因数分解が非常にしやすい記数法があったとしても、四則演算が果てしなく難しいのであれば、私たちの日常生活には使えないでしょう。取り敢えずは四則演算がしやすいことが、現実的な前提条件になると思います。

覚えやすさとは覚えなきゃいけないものごとの多さです。例えば200進数で200文字覚えなきゃいけない、となると大変そうです。しかもその場合「九九」が81通りではなく、40000通りになりますから、その意味でも大変です。

最後に拡張性。例えば10進数は表現できる数に理論上限界はないですし、小数への拡張もできます。

位取り記数法の長所と短所

さて、一見すると位取り記数法（特に10進数）はこれらの点において優位に見えます。

位取り記数法は、1から任意の自然数までの全ての数を表すための文字数の平均が常に最小になる記数法です。
日常的なレベルであれば四則演算が行えます。
n通りの記号を覚えるだけですから、覚えるのも簡単です。
拡張性も高く、並べるだけで無限の数を表現でき、小数も無限に細分化して表せます。

こうしてみると、確かに位取り記数法が最も優れた記数法であると考えるものがいてもおかしくありません。

しかし、本当でしょうか。

この議論は第一に、位取り記数法に有利な前提に無意識のうちに立っており、ほとんどトートロジーのような議論になっています。そもそも「数とはn個の記号の列と一対一に対応する」という前提は、言語の線条性や形式素主義といった、位取り記数法文明の視点に強く依存します。

そして第二に、我々の実際の数の使用について、やや無頓着です。

「よく使う数」は短くあるべきだ

シャノンの暗号理論を持ち出すまでもなく、効率の良い言語使用の前提は「よく使うものは短く」「あまり使わないものは長く」です。では、私たちが日常で使う「数」にはどのような偏りがあるでしょうか。

よく知られている例として、以下のような偏りがあります。

年号（2025など）や、ミームなど、文化的に意味のある数値は頻度が高くなる。
キリのいい数字は頻度が高い。
- 73という数と1000という数では、1000の方が使用頻度は高い。
- 発展途上国では年齢を自己申告させたとき、5歳刻みなどのキリの良い値に偏る現象(age heaping)がある。
「先頭桁」は均一ではない（ベンフォードの法則）。
- 人口、川の長さ、物理定数、財務データなど、あらゆる数値において「1」が先頭桁になる確率が3割程度なのに対し、9が先頭になる確率は5%もない
整数の頻度分布がZipf則のような形に近づく。
- 基本的に1や2といった小さい数と1001, 1002 といった数では頻度に大きな差がある。

そして、重要な点として、人間の量感覚は差よりも比に敏感であるということが挙げられます。そのため、多くの自然言語では、10を底とした対数上の特定区間ごとに「一」「十」「百」「千」「万」のように短い単語を当てています。日本語は位取り記数法そのものに加えて、10の倍数や10000の倍数の表現を強化しているとも言えます。

つまり、「よく使うものは短く」という原則と、「比を基準とした人間の量感覚」を整合した結果、「代表値」を等比数列で取る…というシステムが出来上がっています。

私たちは大きな数を扱えない

また、現実的な問題として、私たちは6桁以上の数値を把握することができません。計算したり、短期的に記憶したりすることも難しいですし、「0の数を間違える」など実際的な害もでてきます。

そのため、6桁を超えるならそもそも単位を見直すべきです。人口を表すなら「万人」「100万人」などを単位にするべきですし、例えば、アボガドロ定数のような大きな数を「602垓2140京7600兆」などと表すべきではないでしょう。

つまり、数が道具である以上、ある程度「上限」を持ってくれていたほうが使いやすいのではないかと思います。

標準数という考え方

であるなら、現実的な上限値を設定した上で、等比でスケールする記数表現を考えた方が、設計のトレードオフ上は良い気がします。実際工学の世界には、「標準数」という考え方があり、ボルトや抵抗など多くの規格で応用されています。最初は細かく、だんだん粗くする、という発想です。

この「上限」はどれくらいがいいのか…はどうしても恣意的になりますが、感覚的には数千〜数万あたりが一つの山場だと思っています。英語圏では10の3乗、日本語圏では10の4乗単位で丸めることが多いことも加味すればそれくらいがちょうど良い気がしています。

次に、倍率に関して見ていきましょう。これは「標準数」として使うときに荒すぎず、かつ刻みすぎないバランスを考える必要があります。

極端な例として、持っているお金を10の倍数の代表値（1,10,100,1000…）に丸めるとしましょう。316円を100円に丸めると-68%、1000円に丸めると+216%の誤差が生まれます。しかし、1.69倍ずつに代表値を取るなら、平均で13%、最大でも30%ほどの差で済みます。そうすれば自然な概数として利用できそうです。

許したい最大誤差	倍率 r	最大誤差（=√r−1）	平均誤差率（log一様のとき）
1割	1.21	10%	約 4.8%
2割	1.44	20%	約 9.1%
3割	1.69	30%	約 13.2%
4割	1.96	40%	約 17.0%

※「log一様」＝「100〜200」と「1000〜2000」を同じ重みで見るような仮定。

ここまで言いたいことは単純です。位取り記数法は確かに有力なツールですが、その強さは「全ての整数を等しく大事に扱う」「数は桁列である」という前提と相性が良い、というだけの強さなのです。実際の使用頻度や、概数としての運用を考えれば、別の設計のほうが自然な場面が多いのです。

しかし、位取り記数法に代わる記数法など存在するのでしょうか。チャーチルの民主主義評よろしく、位取り記数法は「他よりマシだから一生付き合うべきもの」なのでしょうか。ここから先は、別の道を一本示してみます。

ゼッケンドルフ記数法

ここで提案する記数法は、数を複数の代表値の和として表現する「加法記数法」の一種です。加法記数法にはローマ数字や古代エジプト数字のように「時代遅れ」「原始的」というイメージがあるかもしれません。実際それらの体系が使い勝手が悪いのは事実ですが、それは単に洗練されていないからであって、加法記数法そのものには明確な強みがあると考えています。

この提案は、ゼッケンドルフの定理から着想を得ています。ゼッケンドルフの定理とは、任意の正の整数は、1つ以上の「番号が連続しない」フィボナッチ数の和として一意に表せる、というものです。すなわち、フィボナッチ数それぞれを「数字」として割り振れば、任意の自然数に一意な表現を割り振れます。

そこで、フィボナッチ数に文字を割り振ります。なおここでは、フィボナッチ数列の始まりが 0,1,1,2,3,5,8,... で1が2回出てくる点を、あえてそのまま採用します。たしかに1が2回出てくるのは「無駄」なので、合併してもよいのですが、ここでは、規則の単純さを優先して2つの1を残すことにします（この選択は設計上の好みで、正直、どちらでも良いです）。

割り振りは次の通りです。

対応するアルファベット	対応する値
a	0
b	1
c	1
d	2
e	3
f	5
g	8
h	13
i	21
j	34
k	55
l	89
m	144
n	233
o	377
p	610
q	987
r	1597
s	2584
t	4181
u	6765
v	10946

つまり、文字を並べることで、その和を表すというルールです。例えば hd は h+d の意味で、13+2=15 です。順番は本質ではありません。

文字が有限なら表せる数に上限が出ますが、これは「〇〇番目のフィボナッチ数」を指定する演算子を用意することで解決します。

ここでは便宜的に <...> を「フィボナッチ番号指定」として使うことにします。例えば v の次が必要なら <22> （あるいは <ic> ）のように書けます。そのため、理論上の上限はありません。

また、文字数に制限があることにはメリットもあります。上限があることで、「単位を見直す」きっかけになるからです。

文字数は多すぎても少なすぎても使いづらいです。個人的には22文字（17710まで演算子なしで表せる）あたりが覚えやすさと使いやすさのバランスが良いラインだと思っています。22番目の文字が10946で「だいたい1万」なのも10進数ユーザーにとって分かりやすいです。1億とか1兆くらいのオーダーが使いたいなら、v²やv³といった単位を使えば良いわけです。

ここから先は、この記数法を改めて評価し、位取り記数法（特に10進数）と比較します。評価軸は冒頭の4つ、読み書きの容易さ・覚えやすさ・演算・拡張性です。

読み書きの容易さ

ここでは読み書きの容易さの基準として、「何文字で表されるか」という点を検討します。位取り記数法では「桁数」に該当し、ゼッケンドルフ記数法では「項数」に該当します。

まず前提として、平均的には文字数は増えます。位取り記数法と違って「順番」に依存しない分、同じ文字数で表現できる組み合わせ総数が減りますし、ゼッケンドルフの正規形では長くなる数値が存在します。例えば 10945（v の一つ前）は usqomkigec と10文字で示されます（ここでは正規形として「同じ文字を重ねず、隣り合うフィボナッチを同時に含まない」形を想定します）。

具体例として、0から9999までを等確率で取ったとき、平均使用文字数は10進数が約3.89文字であるのに対し、ゼッケンドルフ正規形では約5.28文字になります。

分布（0〜9999、等確率）の一例は次の通りです。

文字数	10進（個数）	ゼッケンドルフ正規形（個数）
1	10	20
2	90	153
3	900	679
4	9000	1803
5	0	2901
6	0	2730
7	0	1381
8	0	313
9	0	20

指標（0〜9999）	10進	ゼッケンドルフ正規形
平均文字数	3.889	5.2811

ただし、ここには大事な但し書きがあります。これは「正規化された表現」で比較しているということです。10進数では「計算後」の表現が（基本的には）最も短くなります。一方でゼッケンドルフの世界では、計算して正規形に直すことが必ずしも最短表現ではありません。

例えば 10945 を表すだけなら、usqomkigec と書くより v - b と書いたほうが表現が短くなり、しかも「意味」が保存されます。なので、ゼッケンドルフ記数法を普段使いしているゼッケンドルフ原人がいたとして、彼らは不必要に計算してわざわざ表現を長くするような真似はしないでしょう。実際、項として負の数を認めるだけで、必要な項数の平均は大きく下がります。

さらに、言語使用は自然と最適化していくものです。順番がないことを利用して「降順のときは和として扱い、昇順のときは積として扱う」のようなルールを設定することで、hf は「18」だが fh は「65」…というように表現を分けるかもしれません。結局のところ、ちゃんと比較するなら、10進数を使ってる日常世界とゼッケンドルフを使っている日常世界における「それぞれの数の出現頻度」も考慮に入れるべきです。

2つの世界を比較すると、結局平均文字数はそんなに変わらないと考えます。というのも、ゼッケンドルフ世界では「代表値」（フィボナッチ数）が対数的に並び、概数としての丸め誤差が小さいため、1文字で表現される数値の使用頻度が高くなると予想できるからです。結局のところ数字とは道具ですから、「使いやすさ」によって出現する数の頻度は変わりうるわけです。

そんなわけで、「読み書きの容易さ」は簡単に比較できるものでもなさそうですが、少なくとも次は言えそうです。

正確にすべての数を書く用途では、平均文字数の点で位取り記数法がやや優位
概数で運用する用途では、ゼッケンドルフ側のほうが自然に「丸めやすい」構造を持つ

覚えやすさ

覚えやすさについては、結論から言えば、ここに大きな差はないと考えます。覚えやすさには、記数法の「ルールとしての覚えやすさ」と、用いる「文字（記号）の覚えやすさ」という二つの側面があると思います。

第一に、ルールとしての覚えやすさとは、ある表記を数として解釈するために必要な構造の理解のしやすさのことです。10進数では、XYZという並びを 100*X + 10*Y + Z のように位ごとの重みづけとして解釈する必要があります。一方でゼッケンドルフ記数法では、基本的には書かれた文字が表す値の和として解釈すればよく、対応関係がより素朴です。

第二に、文字（記号）の覚えやすさについてです。位取り記数法は底の数だけ記号を覚える必要があり、10進数なら10種類です。ゼッケンドルフの場合は「どこまでのフィボナッチ数に文字を割り当てるか」に依存しますが、今回提案する運用では22文字を想定しています。

こうして見ると、純粋に記号の種類だけを数えるなら10進数のほうが僅かに有利にも見えます。ただ、自然言語として運用することを考えると、10進数も実際には「十・百・千・万・億・兆…」といった数詞を併用せざるを得ず、覚えるべき語彙は増えます。これを加味すると、両者の差は実用上ほとんど変わらないように見えます。

総じて、覚えやすさという点では、大きな差はなさそうです。

演算のしやすさ

この点が一番、違いが出やすいところかもしれません。私たちが日常で使う計算は主に次の3つだと考えます。そのため、この3つについて比較・検討していきましょう。

足し算と引き算
掛け算と割り算
因数分解（倍数判定）

1. 足し算・引き算

さて、ゼッケンドルフ記数法の足し算は驚くほど簡単です。例えば h+d はなんでしょうか。そう、hd ですね。hd とは h と d を足したものなんですから。では f+k は？ kf です。足したものを書き連ねるのが加法記数法なんです。

ただし、いつでもただ並べればよいわけではありません。ゼッケンドルフ記数法では、表現を正規形に整えるために、いくつかの規則を適用します。

c+d はどうなるでしょうか。こちらは dc ではありません。隣り合っているフィボナッチ数同士は合体します。つまり c+d=e です。隣り合っている文字は、さらにその次の文字になります。

最後に e+e を見てみましょう。同じ文字が二つ並んだとき用の置き換え規則が作れます。e は c と d の合体ですから、e+e は「e と c と d が並んだもの」と同じです。すると e と d が隣り合っているので合体して f になり、残りは f と c、すなわち fc です。よって e+e=fc です。

お分かりでしょうか。結局のところ、足し算は「並べる」こと自体が計算の本体で、あとは表現を整えるだけです。整え方も、次の二つを繰り返すだけで済みます。

(1) 同じ文字が二つあれば、その文字を「二つ前」と「一つ先」に置き換える。
(2) 隣り合う文字があれば、ひとつ上の文字に合体させる。
(1)(2)を、どちらも適用できなくなるまで繰り返せば終わり。

この世界に、繰り上がりの足し算で苦労する小学生などいないのです。慣れれば算盤のように、一瞬で計算できるようになるでしょう。

2. 掛け算・割り算

次に掛け算です。掛け算と言われて複雑な九九を覚える必要があるのでは……と身構えたかもしれません。しかし、こちらも「手続き」さえ覚えてしまえば、何一つ計算結果を覚える必要はないのです。百聞は一見に如かず。実際にこの世界における「九九」の表をご覧いただきましょう。

×	c	d	e	f	g	h	i
c	c	d	e	f	g	h	i
d	d	ec	fd	ge	hf	ig	jg
e	e	fd	gc	he	if	jg	kh
f	f	ge	he	jfc	kgc	lhd	mge
g	g	hf	if	kgc	lfc	mge	nhf
h	h	ig	jg	lhd	mge	njfc	ogc
i	i	jg	kh	mge	nhf	ogc	plhd

アルファベットの順番に慣れてないとこの表を見てもピンとこないかもしれないので、同じ内容を「フィボナッチの番号」で書いたものもお見せします。ここでは、フィボナッチ数列のうち [n] を「n 番目のフィボナッチ数」とします（0 始まりで、[0]=0, [1]=1, [2]=1, [3]=2, [4]=3, [5]=5, [6]=8, [7]=13, [8]=21, …）。対応は a=[0], b=[1], c=[2], d=[3], e=[4], f=[5], g=[6], h=[7], i=[8] です。九九表は見通しのために [2]（=c）から載せます。なお [1] を掛ける場合は [1]×[n]=[n] です。

×	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[8]
[2]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[8]
[3]	[3]	[4]+[2]	[5]+[2]	[6]+[3]	[7]+[4]	[8]+[5]	[9]+[6]
[4]	[4]	[5]+[2]	[6]+[2]	[7]+[3]	[8]+[4]	[9]+[5]	[10]+[6]
[5]	[5]	[6]+[3]	[7]+[3]	[8]+[4]+[2]	[9]+[5]+[2]	[10]+[6]+[3]	[11]+[7]+[4]
[6]	[6]	[7]+[4]	[8]+[4]	[9]+[5]+[2]	[10]+[6]+[2]	[11]+[7]+[3]	[12]+[8]+[4]
[7]	[7]	[8]+[5]	[9]+[5]	[10]+[6]+[3]	[11]+[7]+[3]	[12]+[8]+[4]+[2]	[13]+[9]+[5]+[2]
[8]	[8]	[9]+[6]	[10]+[6]	[11]+[7]+[4]	[12]+[8]+[4]	[13]+[9]+[5]+[2]	[14]+[10]+[6]+[2]

つまり以下の三つのルールを順番に見ていけば自然と答えが出てしまいます（m>n とします。ここでの m, n はフィボナッチの「番号」で、上の表の [n] の n に相当します）。

[m]×[n] の先頭（最大）の項は、必ず [m+n-2] です。
そこから先は、基本的に 4 つずつ番号が減った項が並びます（[m+n-2], [m+n-6], [m+n-10], …）。
最後の終わり方だけが偶奇で変わります。n が偶数のときは最後が [m-n+2] で終わり、n が奇数のときは最後だけ差が 3 になって [m-n+1] が追加されます。

つまり、ゼッケンドルフ原人は繰り上がりの計算に苦しむどころか、「九九」を覚える必要すらないのです！

四則演算とトレードオフ

さて、ここまで加算と乗算の方向性について、それぞれ極めて単純な規則や手続きで処理できることを示しました。ただし、ゼッケンドルフ記数法には短所もあります。一回一回の操作は楽な代わりに、必要になる操作回数が多いのです。

ただし、そのデメリットを踏まえても、私はゼッケンドルフ記数法を使った方が全体としての計算効率は上がるだろうと主張します。結局、一回一回の操作のハードルが低い方が、たとえ操作回数が増えても計算ミスが減ると思うからです。この思想は算盤にも似ています。難しい計算を論理的に組み立てるより、単純な操作を何度も繰り返した方が、最終的な出力は早く、確実になるのです。

3. 因数分解

さて、普段意識しない10進数のメリットとして、因数分解（あるいは倍数判定）のしやすさというものがあります。2や5で割り切れるかどうかは一見して分かりますし、他の9までの数についても比較的簡単な倍数判定が知られています。これはすごいことですし、普段意識していないだけで、私たちはこの恩恵にあやかっていると思います。

では、ゼッケンドルフ記数法ではどうでしょうか。結論から言えば、こちらも一貫した倍数判定の方法があります。ある数がmの倍数かどうかを知りたければ、各文字（=各フィボナッチ数）をmで割った余りを足し合わせ、最後にその和が0になるかどうかを見ればよいのです。

ここで重要なのは、フィボナッチ数列をmで割った余りの並びが必ず周期的になる、ということです。したがって、mごとに「余り表」を作っておけば、倍数判定は「表を参照して足す」だけになります。慣れれば暗算でも扱えます。

例として2の倍数判定を考えます。フィボナッチ数は3つおきに偶数になります（例：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,... ）。したがって「偶数項か奇数項か」を数えるだけで判定できます。10進数の3の倍数の判定方法と基本的には同じことをすべての数で行えるのです！

このように、ゼッケンドルフ記数法では倍数判定の方法が統一されます。10進数は底（10）の性質によって2と5が特別に扱いやすい一方で、ゼッケンドルフ記数法は「任意のmに対して、余り表を作って足す」という同じ手続きで処理できるのです。もちろん因数分解そのものが魔法のように簡単になることはありませんが、割れるかどうかを確かめるための単純な手続きが揃っているのは便利です。

拡張性

最後に拡張性についてです。ここでいう拡張性には二つあります。第一に「どこまでも大きな整数を書けるか」。第二に「小数のように、精度を上げていけるか」です。

大きな整数への拡張

10進数は桁を重ねることで無限大に数を拡張できます。ゼッケンドルフ記数法も先に述べたように「〇〇番目のフィボナッチ数」を指定する演算子（ここでは <...>）を用意すれば無限大に数を表現できます。例えば v までしか定義していないとしても、その次のフィボナッチ数は <ic> のように書けます。
つまり、整数の表現能力という意味では、位取り記数法と同様に理論上限界はありません。

小数への拡張

小数についても、位取り記数法と同様に拡張することができます。

ここで一つ、加法記数法らしい拡張として「逆数」を使う案が出てきます。例えば「u は 6765 を表す」なら「[u] は 1/6765 を表す」といった具合に、逆数を表す記法を追加します。すると、逆数の和で有理数（あるいは実数の近似）を作れます。例えば「(1/2)x + (1/3)y + (1/5)z + ...（x,y,zは各逆数を使うかどうかのブール）」のように、選択の和として数を近似していくことで、小数のようなものが作れます。

ただし、ここで二つの論点が出ます。

その表現が一意になるか（ゼッケンドルフのような一意性が保てるか）。
そもそも「全部の逆数を足したとき」にどこへ収束するか（表現範囲がどうなるか）。

表現の一意性については成立しそうですし、逆数和についても、約 1.359... 程度の値に収束します。ただし、ゼッケンドルフの定理と同じようには正規化できないため、実際にどのようにこの小数が使われうるか…という点については課題が残っています。

したがって、現時点での結論としてはこうなります。

ゼッケンドルフ記数法は整数については拡張性に困らない。
任意の有理数を表すことができるうえ、小数のような拡張を考えることができる。

まとめ

ここまでの議論を整理します。

位取り記数法（特に10進数）は、確かに優秀です。読み書き、演算、覚えやすさ、拡張性のすべてを兼ね備えています。しかしその優秀さは「すべての数を等しく丁寧に扱う」「数は桁列である」という前提と強く結びついていますし、実際の言語使用では位を表す数詞を後付けして「補助」しています。実際の数の使用頻度や、概数としての運用、あるいは列ではない表現を考えると、別の合理性が俎上に上がります。

ゼッケンドルフ記数法は、いわばその別の合理性を体現しているのです。ゼッケンドルフ記数法には以下の特徴があります。

概数として丸め誤差が小さく、使いやすい。
覚えやすい。
足し算は簡単なアルゴリズムで実行できる
掛け算も簡単なアルゴリズムで実行できる。
因数分解（倍数判定）も、一貫した手続きとして整理できる。
整数においても、小数においても、十分な拡張性が保証されている。

人工言語作者が「何進数にするか」だけを議論しているなら、その時点で設計空間の大部分を捨てていることになるかもしれません。この記事が、あなたが記数法を考える際の僅かなヒントになることを望んでいます。

以上。